Una oración de relativo especificativa identifica de qué sustantivo hablas: sin ella, la frase quedaría incompleta o ambigua. En the man who lives next door, el relativo dice exactamente qué hombre. Por eso no lleva comas: es información esencial, no un añadido. El relativo se elige según lo que describe: who (personas), which (cosas), where (lugares); y that puede sustituir a who/which.
Pronombres relativos
who → personas · which → cosas/animales · where → lugares
when → tiempo · whose → posesión · whom → objeto formal
that puede sustituir a who/which en las especificativas.
Ejemplos
ENThe woman who teaches us is from Leeds.
ESLa mujer que nos da clase es de Leeds.
ENThis is the house where I grew up.
ESEsta es la casa donde crecí.
ENThat's the student whose essay won.
ESEse es el alumno cuyo ensayo ganó.
Cuándo se puede omitir
Se puede omitir cuando es objeto: the girl (who) I saw.
No se puede omitir cuando es sujeto: my dad who works here.
Truco who/whom: si encaja he/she → who; si encaja him/her → whom: the person whom she invited.
El error típico del hispanohablante
El "que" español lo cubre todo; el inglés lo separa: who para personas, which para cosas — no "the man which".
No dupliques el objeto: the book that I read (no "the book that I read it").