Aquí está uno de los errores más arraigados del hispanohablante: en español la doble negación es normal (no tengo nada), pero en inglés está prohibida. Solo puede haber una palabra negativa por oración. Por eso tienes que elegir: o niegas el verbo y usas anything (I don't have anything), o dejas el verbo afirmativo y usas nothing (I have nothing). Las dos son correctas; lo que no vale es juntarlas ("I don't have nothing").
Una negación por oración
I don't know anything ✓ = I know nothing ✓
nothing/nobody/never ya niegan — el verbo se queda afirmativo.
El error típico del hispanohablante
Nada de doble negación: I don't have anything — nunca "I don't have nothing".
I can't see anybody, o I can see nobody — una negación, no las dos.